树状数组

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。 这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。 ——摘自<树状数组>百度百科

设有一数列A{1…n} 用树状数组T[n]进行保存 Tn指数组第n个元素的数值，An指数列的第n个元素 如图所示

对于第n个数组元素Tn，它包含的数列元素为2^k个（其中k为n二进制末尾0的个数） 同时Tn被它后面第2^k个数组元素所包含。 比如T1就被它后面第2^k=1个数组元素，也就是T2所包含 而T2就被它后面第2^k=2个数组元素，也就是T4所包含

Lowbit函数

Lowbit函数的作用是求2^k 我们知道，二进制数的第n位（从右往左数起）表示的数值是2^(n-1) 当n为0001（十进制1）的时候，k为0，2^k为1 当n为0010（十进制2）的时候，k为1，2^k为2 当n为0011（十进制3）的时候，k为0，2^k为1 当n为0100（十进制4）的时候，k为2，2^k为4 …… 可以发现，2^k的值等于n最低位1所代表的数值 所以，Lowbit函数的作用也是取出n最低位的1

在计算机中，使用补码储存和表示数值 补码的负数相当于原码取反再加1 而补码和原码进行按位与运算时（&），得到的结果就是原码最低位1 ps：按位与运算（&）同是1为1，否则为0

因此Lowbit可以这样写

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int Lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

还有另一种写法 这里先给出，但是具体思路还不清楚，只知道作用是相同的

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int Lowbit(int x){
	return x&(x^(x-1));//^：按位异或，不同为1，相同为0
}

修改数列元素An的函数Update

若要修改An，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log2(n)个的祖先 由于An被从Tn开始的多个数组元素包含，因此需要循环添加直到树状数组边界 上面也有提到，Tn被它后面第2^k个数组元素所包含 以下是代码：

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void update(int n,int number){//n为修改的数列元素Ax，number为改变数值
	while(n<=along){//along为树状数组长度
		T[n]+=number;
		n+=Lowbit(n);//往后移动到下一个包含Ax的数组元素
	}
}

获得数列A1…An和的函数Getsum

由于A1…An的和被分割为许多块，因此需要一块块加起来才能得到结果 上面也有提到，Tn包含的数列元素数为2^k，即Lowbit(n)，而从A1到An一共包含n个数列元素 可以这么理解，从Tn开始，每次获得Lowbit(当前格)个元素，因此要向前跨Lowbit(当前格)格，直到走到T1之前（获得所有元素）。 以下是代码：

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int Getsum(int n){
	int sum=0;//sum为A1…An的和
	while(n>0){
		sum+=T[n];//添加当前的一块
		n-=Lowbit(n);//往前跨Lowbit(n)格
	}
	return sum;
}

n –= Lowbit(n)实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有⌈log2(n)⌉（向上取整）个1，所以查询效率是log2(n)的。

============== 以求A1…A7的和为例 得出结果为T7+T6+T4只要三个数相加 而如果用普通数组直接保存数列A，要求A1…A7的和需要七个数相加；如果普通数组保存A的前n项和，每次修改An都要改动n个数组元素

因此在需要多次求数组某一段的和时，使用树状数组保存可以有效提高效率